函数的最值教案设计

函数的最值教案设计

目的 ：

（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

重点：

函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：

利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

教学过程：

一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○1说出y=f(x)的单调区间 ，以及在各单调区间上的单调性；

○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1） （2）

（3） （4）

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定义．（学生活动）

注意：

○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值[来源:Z#xx#k.Com]

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[ b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x= b处有最小值f(b)；

（二）典型例题

例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解：（ 略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利 用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元）住房率（%）

16055

14065

12075

10085

欲使每天的的营业额最 高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设 为旅馆一天的客房总收入， 为与 房价 160相比降低的房价，因此 当房价为 元时，住房率为 ，于是得15．

由于 ≤1，可知0≤ ≤90．

因此问题转化为：当0≤ ≤90时，求 的最大值的问题．

将 的两边同除以一个常数0.75，得 1=－ 2＋50 ＋17600．

由于二次函数 1在 =25时取得最大值，可知 也在 =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

例3．（教材P37例4）求函数 在区间[2，6]上的最大值 和最小值．

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．

巩固练习：（教材P38练习4）

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论

四、作业布置

1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第6、7、8题．

提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？

指数概念的扩充

3.2.1指数概念的扩充

【自学目标】

1.掌握正整数指数幂的概念和性质；

2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；

3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。

【知识要点】

1．方根的概念

若 ，则称x是a的平方根；若 ，则称x是a的立方根。

一般地，若一个实数x满足 ，则称x为a的n次实数方根。

当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作 ；

当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号 。

注意：0的n次实数方根等于0。

2．根式的概念

式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。

求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。

3．方根的性质

（1） ；

（2）当n是奇数时， ，当n是偶数时，

【预习自测】

例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。

⑴25的平方根 ； ⑵ 27的三次方根 ；

⑶－32的五次方根 ； ⑷ 的三次方根 ．

例2．求下列各式的值：

例3．化简下列各式：

例4．化简下列各式：

【堂练习】

1．填空：

⑴0的七次方根 ；⑵ 的四次方根 。

2．化简：

【归纳反思】

1．在化简 时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；

2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。

拓展阅读

1、小学六年级《反比例》数学精选教学设计案例

1.通过感知生活中的事例，理解并掌握反比例的含义，经初步判断两种相关联的量是否成反比例

2.培养学生的逻辑思维能力

3.感知生活中的数学知识

重点难点1.通过具体问题认识反比例的量。

2.掌握成反比例的量的变化规律及其 特征

认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。

一、课前预习

预习24---26页内容

1、什么是成反比例的量?你是怎么理解的?

2、情境一中的两个表中量变化关系相同吗?

3、三个情境中的两个量哪些是成反比例的量?为什么?

二、展示与交流

利用反义词来导入今天研究的课题。今天研究两种量成反比例关系的变化规律

情境(一)

认识加法表中和是12的直线及乘法表中积是12的曲线。

引导学生发现规律：加法表中和是12，一个加数随另一个加数的变化而变化;乘法表中积是12，一个乘数随另一个乘数的变化而变化。

情境(二)

让学生把汽车行驶的速度和时间的表填完整，当速度发生变化时，时间怎样变化?每

两个相对应的数的乘积各是多少?你有什么发现?独立观察，思考

同桌交流，用自己的语言表达

写出关系式：速度×时间=路程(一定)

观察思考并用自己的语言描述变化关系乘积(路程)一定

情境(三)

把杯数和每杯果汁量的表填完整，当杯数发生变化时，每杯果汁量怎样变化?每两个相对应的数的乘积各是多少?你有什么发现?用自己的语言描述变化关系

写出关系式：每杯果汁量×杯数=果汗总量(一定)

5、以上两个情境中有什么共同点?

引导小结：都有两种相关联通的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化，并且这两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。这两种量之间是反比例关系。

活动四：想一想

二、 反馈与检测

1、判断下面每题是否成反比例

(1)出油率一定，香油的质量与芝麻的质量。

(2)三角形的面积一定，它的底与高。

(3)一个数和它的倒数。

(4)一捆100米电线，用去长度与剩下长度。

(5)圆柱体的体积一定，底面积和高。

(6)小林做10道数学题，已做的题和没有做的题。

(7)长方形的长一定，面积和宽。

(8)平行四边形面积一定，底和高。

2、教材“练一练”P33第1题。

3、教材“练一练”P33第2题。

4、找一找生活中成反比例的例子，并与同伴交流。

2、小学六年级《反比例》数学精选教学设计案例

1、理解反比例的意义。

2、能根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。

3、培养学生的抽象概括能力和判断推理能力。

引导学生理解反比例的意义。

利用反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。

一、复习铺垫

1、成正比例的量有什么特征?

2、下表中的两种量是不是成正比例?为什么?

二、自主探究

1.出示例1，提出观察思考要求：

从表中你发现了什么?这个表同复习的表相比，有什么不同?

(1)表中的两种量是每小时加工的数量和所需的加工时间。

教师板书：每小时加工数和加工时间

(2)每小时加工的数量扩大，所需的加工时间反而缩小;每小时加工的数量缩小，所需的加工时间反而扩大。

教师追问：这是两种相关联的量吗?为什么?

(3)每两个相对应的数的乘积都是600.

2.这个600实际上就是什么?每小时加工数、加工时间和零件总数，怎样用式子表示它们之间的关系?

教师板书：零件总数

每小时加工数×加工时间=零件总数

通过刚才的研究，我们知道，每小时加工数和加工时间是两种相关联的量，每小时加工数变化，加工时间也随着变化，每小时加工数乘以加工时间等于零件总数，这里的零件总数是一定的。

1.出示例2，根据题意，学生口述填表。

2.教师提问：

(1)表中有哪两种量?是相关联的量吗?

教师板书：每本张数和装订本数

(2)装订的本数是怎样随着每本的张数变化的?

(3)表中的两种量有什么变化规律?

(三)比较例1和例2，概括反比例的意义。

1.请你比较例1和例2，它们有什么相同点?

(1)都有两种相关联的量。

(2)都是一种量变化，另一种量也随着变化。

(3)都是两种量中相对应的两个数的积一定。

像这样的两种量，我们就把它们叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

3.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积一定，反比例关系可以用一个什么样的式子表示?

教师板书： xy =k(一定)

三、课堂小结

1、这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两种量是成反比例的量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。在判断时，同学们要按照反比例的意义，认真分析，做出正确的判断。

2、通过今天的学习，正比例关系和反比例关系有什么相同点和不同点?

四、课堂练习

完成教材43页做一做

五、课后作业

练习七6、7、8、9题。

成反比例的量 xy=k(一定)

每小时加工数×加工时间=零件总数(一定)

每本页数×装订本数=纸的总页数(一定)

3、五年级数学上册《分数加减混合运算》教案设计

第一课时

一 教学内容

教材第117 、118 的内容及第120页练习二十三的第1 一4 题。

二 教学目标

1 ．通过教学，使学生掌握分数加减混合运算的顺序和计算方法，并掌握带有小括号的分数加减混合运算的顺序及算法。

2 ．培养学生迁移、类推的能力和归纳、概括的能力。

3 ．养成用简明、灵活的方法解决问题的习惯。

三 重点难点

四 教具准备

投影。

（一）导入

1 ．说一说下列各题的运算顺序。

112+8-13 16-4+21 24-(18+3)

2 . 老师指出：分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同。

（二）教学实施

1 ．出示例1 的表格。

( l ）让学生读懂表格的内容，并用自己的语言表述出来。

( 2 ）老师出示第一个问题："森林部分比草地部分多几分之几？"

( 3 ）提问：森林部分指什么？怎样列式？

( 4 ）请学生试着算一算，集体交流计算方法。

老师**，请不同算法的同学板演。

方法一： ＋ 一 方法二： ＋ 一

= ＋ 一 = ＋ 一

= 一 =

= =

( 5 ）小结计算方法：计算分数加减混合运算时，可以分步通分也可以一次通分进行计算。计算时，可以根据题目的特点和自己的情况灵活选择方法。

2 ．出示例1 的第二个问题："裸露地面储存的地下水占降水量的几分之几？

( l ）先让学生看懂表格内容，然后老师提问：在这个问题中，把什么看作单位"1 " ？ 是什么意思？

( 2 ）请学生列出算式：1 － － 或1 －( ＋ )

( 3 ）请学生试着计算，并指名板演这两种方法的计算过程。

1 － － 1 －( ＋ )

= － － =1 －( ＋ )

= =1 －

=

提问：比较这两种方法有什么不同？带有小括号的分数加减混合运算该怎样计算？

3 ．小结。

提问：你能说一说分数加减混合运算的顺序吗？

引导学生归纳概括出：分数加减混合运算与整数加减混合运算的顺序相同，也是按照从左往右的顺序计算，带有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。

4 ．完成教材第118页的"做一做。

学生试着独立完成，集体交流计算过程，重点看运算顺序及书写美观情况。

5 ．完成教材第120 页练习二十三的第1 - 4 题。

学生独立完成，集体订正。第2 - 4 题，鼓励学生用不同的方法解答。

（四）思维训练

某市举办一次数学竞赛，设一、二、三等奖若干名。获一、二等奖的占获奖总人数的 ，获二、三等奖的占获奖总人数的 。获二等奖的占获奖总人数的几分之几？

（五）课堂小结

本节课我们研究了分数加减混合运算的顺序和计算方法。分数加减混合运算的顺序与整数加减综合运算的顺序相同。

4、小学六年级《反比例》数学精选教学设计案例

1、通过实践活动，理解反比例的意义，并能根据反比例的意义，正确地判断两种相关联的量是否成反比例;

2、通过小组间的合作学习，培养学生的合作意识、参与意识，训练其观察能力及概括能力;

3、利用多媒体动画的演示，让学生体验到反比例的变化规律。

教学重点：感受反比例的变化，概括反比例的意义;

教学难点：正确判断两种相关联的量是否成反比例;

教学准备：20支铅笔、一个笔筒;相关课件;学生分小组(每组一份观察记录单)

每次拿的支数

10

5

4

2

1

拿的次数

总支数

一、复习

1、什么叫做“成正比例的量”?

2、判断两种量是否成正比例关键是什么?

3、练习：课本表中的两种量是不是成正比例?为什么?

二、小组协作 概括“成反比例的量”的意义

(一)活动一

师：好，现在请同学们拿出课前准备的学具，以小组为单位，动手操作，按要求认真填写观察记录单。看哪个组完成的又快又好!

1、学生汇报观察记录单的填写结果。

2、引导观察：在填、拿的过程中，你发现了什么?

3、师：你能根据表格，写出这三个量的关系式吗?

4、小结：通过刚才的活动，我们发现每次拿的支数变化，拿的次数也随着变化，但每次拿的支数和拿的次数的积即总支数总是一定的。

5、揭示反比例的意义(阅读课本，明确反比例关系)

6、如果用x、y 表示两种相关联的量，用k表示积，反比例关系式怎样表示?

(二)活动二：(例3)

1、课件出示例3，指名读题，学生独立完成

2、总结归纳出正比例和反比例的相同点和不同点

三、强化练习 发展提高

1判定两个量是否成反比例，主要看它们的( )是否一定。

2全班人数一定，每组的人数和组数。

( )和( )是相关联的量。

每组的人数×组数=全班人数(一定)

所以( )和( )是成反比例的量。

3判断下面每题中的两种量是不是成反比例，并说明理由。

糖果的总数一定，每袋糖果的粒数和装的袋数。

煤的总量一定，每天的烧煤量和能够烧的天数。

生产电视机的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数。

长方形的面积一定，它的长和宽。

4机动练习：

想一想：铺地面积一定时，方砖边长与所需块数成不成反比例?为什么?

四、全课总结

1、你能不能结合日常生活举一些反比例的例子。

2、今天这节课，你有什么收获?还有什么遗憾?

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